Pengantar Grup Siklik

Oleh : Admin Gema

Kita akan kembali lagi mempelajari materi tentang grup. Sebagaimana materi yang telah dibahas sebelumnya maka kali ini merupakan materi lanjutan. Pada kesempatan ini akan dibahas tentang “Grup Siklik”. Dalam kaitannya dengan kehidupan sehari-hari kita sering melihat kejadian berupa siklus/putaran/rolling dalam suatu kelompok masyarakat. Dalam kejadian siklik atau siklus yang berubah hanya posisinya bukan jumlah atau banyaknya anggota. 

Grup Siklik

Pengertian grup siklik dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu terhadap perkalian dan penjumlahan :

== Terhadap perkalian : Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a anggota G sedemikian hingga              G = { a^n I n anggota Z}. Selanjutnya elemen a dinamakan generator dari grup siklik tersebut.

== Terhadap penjumlahan : Grup (G, +) disebut siklik, bila ada elemen a anggota G sedemikian hingga       G = { na I n anggota Z}. Selanutnya elemen a dinaman generator grup siklik tersebut.

Kesimpulannya adalah suatu grup dapat dikatakan grup siklik bila terdapat generator yang membangun grup itu sendiri. Untuk lebih jelasnya silahkan kalian pelajari contoh berikut :

Contoh 1 :

Misalkan G = { -1, 1} adalah suatu grup terhadap perkalian  (G, . ). Tentukan grup siklik dari grup tersebut.

Penyelesaian :

Agar kita dapat menentukan apakah G merupakan grup siklik atau bukan, maka yang harus dilakukan terlebih dahulu adalah menentukan generatornya.

G = { -1, 1}, berapa generatornya ???

Sekarang, apakah 1 dapat membangun grup G ???

1= {1^n I n anggota Z} = { 1^0, 1^1, 1^2, ...} = {1} berarti 1 adalah generator G.

-1= { (-1)^n I n anggota Z} = {(-1)^0, (-1)^1, (-1)^2,...} = {-1} , berarti -1 adaah generator G.

Dari uraian di atas jelas bahwa generator-generator yang membangun grup G adalah 1 dan -1 seingga dapat disimpulkan bahwa G merupakan grup siklik. Pertanyaan selanjutnya adalah apakah G = {0,1,2,3} merupakan grup siklik terhadap operasi penjumlahan (G,+)???