Oleh : Admin Gema
Kita akan kembali lagi mempelajari
materi tentang grup. Sebagaimana materi yang telah dibahas sebelumnya maka kali
ini merupakan materi lanjutan. Pada kesempatan ini akan dibahas tentang “Grup
Siklik”. Dalam kaitannya dengan kehidupan sehari-hari kita sering melihat
kejadian berupa siklus/putaran/rolling dalam suatu kelompok masyarakat. Dalam
kejadian siklik atau siklus yang berubah hanya posisinya bukan jumlah atau
banyaknya anggota.
Grup Siklik
Pengertian grup siklik dapat
dibedakan menjadi dua macam, yaitu terhadap perkalian dan penjumlahan :
== Terhadap perkalian : Grup (G, .)
disebut siklik, bila ada elemen a anggota G sedemikian hingga G = { a^n I n
anggota Z}. Selanjutnya elemen a dinamakan generator dari grup siklik tersebut.
== Terhadap penjumlahan : Grup (G,
+) disebut siklik, bila ada elemen a anggota G sedemikian hingga G = { na I n
anggota Z}. Selanutnya elemen a dinaman generator grup siklik tersebut.
Kesimpulannya
adalah suatu grup dapat dikatakan grup siklik bila terdapat generator yang
membangun grup itu sendiri. Untuk lebih jelasnya silahkan kalian pelajari
contoh berikut :
Contoh 1 :
Misalkan G = {
-1, 1} adalah suatu grup terhadap perkalian
(G, . ). Tentukan grup siklik dari grup tersebut.
Penyelesaian :
Agar kita dapat
menentukan apakah G merupakan grup siklik atau bukan, maka yang harus dilakukan
terlebih dahulu adalah menentukan generatornya.
G = { -1, 1},
berapa generatornya ???
Sekarang, apakah
1 dapat membangun grup G ???
1= {1^n I n
anggota Z} = { 1^0, 1^1, 1^2, ...} = {1} berarti 1 adalah generator G.
-1= { (-1)^n I n
anggota Z} = {(-1)^0, (-1)^1, (-1)^2,...} = {-1} , berarti -1 adaah generator
G.
Dari
uraian di atas jelas bahwa generator-generator yang membangun grup G adalah 1
dan -1 seingga dapat disimpulkan bahwa G merupakan grup siklik. Pertanyaan
selanjutnya adalah apakah G = {0,1,2,3} merupakan grup siklik terhadap operasi
penjumlahan (G,+)???
0 comments:
Post a Comment