SOAL + JAWABAN BARISAN & DERET ARITMETIKA

Oleh : Admin Gema

A1.   Banyak bilangan bulat antara 1000 dan 2005 yang habis dibagi 13 adalah ....

Penyelesaian :

Bilangan bulat yang habis dibagi 13 antar 1000 dan 2005 adalah ...

1001, 1014, 1027, ..., 2002

Maka suku pertama a = U1 = 1001

Selisih atau beda antara suku : b = 13

Suku ke-n : Un = 2002

Dengan menggunakan rumus suku ke-n barisan aritkatika : Un = a + ( n-1) b

Diperoleh :

2002 = 1001 + ( n-1) 13

2002 = 1001 + 13n – 13

2002 – 1001 = 13n – 13

1014 = 13 n

n      =  1014/13

n      = 78

Jadi, banyaknya bilangan antara 1000 dan 2005 yang habis dibagi 13 adalah 78.

A2.  Nomor mobil-mobil polisi di suatu negara selalu berupa bilangan 4 angka. Selain itu jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus habis dibagi 5. Nomor polisi yang terbesar yang dibolehkan negara itu adalah ....  

Penyelesaian :

Misalkan keempat nomor itu adalah A B C D. Jumlah keempat angka tersebut harus habis dibagi 5 yang artinya A+B+C+D habis dibagi 5.

Bilangan 4 digit terbesar adalah 9999. Namun, 9+9+9+9 = 36 tidak habis dibagi 5. Sehingga kita harus memilih satu angka dibawahnya yaitu 9998, sebab 9+9+9+8 = 35 habis dibagi 5.

Jadi, nomor polisi yang terbesar adalah 9998.

A.3 Jumlah penduduk sebuah kota tiap 10 tahun menjadi dua kali lipat. Menurut perhitungan, pada tahun 2040 nanti akan mencapai 3,2 juta orang. Ini berarti bahwa pada tahun 1990 jumlah penduduk kota itu baru mencapai ....?

Penyelesaian :

Jumlah penduduk pada tahun 2040 nanti adalah 3,2 juta

Misalkan : U1 adalah jumlah penduduk tahun 1990

Un adalah jumlah penduduk tahun 2040.

Karena setiap 10 tahun jumlah penduduk menjadi 2 kali lipat sehingga diperoleh r = 2 ; n =6 ; Un = 3,2 juta = 3200 ribu.

Un    = U1. r^n-1          (tand atau simbol  ^  = “pangkat”)

3200 = U1. 2^6-1

3200 = U1. 32

U1    = 3200/32

U1    = 100 ribu

Jadi, jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 1990 adalah 100 ribu jiwa.

A4. Tiga buah bilangan berurutan yang berjumlah 12 merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika bilangan ke-3 ditambah 2 maka diperoleh deret geometri. Hasil kali ke-3 bilangan tersebut adalah 

Penyelesaian :

Deret aritmatika : U1 + U2 + U3 = 12

Misal : U1 = a-b, U2 = a, U3 = a + b maka diperoleh :

U1 + U2 + U3 = 12

a-b + a +  a + b = 12

3a = 12

a   = 4

U3 + 2 diperoleh deret geometri :  a – b,  a,  a + b + 2 atau 4-b, 4, 6 + b maka

U2/U1 = U3/U2  atau 4 / (4 – b) = 6+b/ 4 sehingga :

4 . 4 = (4 – b) (6+b )

16 = - b^2 - 2b + 24

b^2 + 2b – 8 = 0

(b + 4) (b – 2) = 0

b1 = - 4  atau b2 = 2

untuk b = -4 ,  hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 8 x 4 x 0 = 0

untuk b = 2 ,   hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 2 x 4 x 6 = 48.

Jadi, hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 0 dan 48.

Cacatan : simbol b1 sibaca “b satu”  dan  b2  dibaca “b dua”

A5.  Jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah ...

Penyelesaian :

Bilangan bulat diantara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah 105, 110, ..., 295.

a = 105  ;  b = 5  ;  Un = 295

Un = a + (n-1) b

295 = 105 + (n-1) 5

295 = 105 + 5n – 5

295 = 100 + 5n

5n   =  195

n     =   39

Jumlah semua bilangan bulat antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah :
Sn  = n / 2  [ a  + Un]

S₃₉ = 39 / 2 [ 105 + 295 ]

S₃₉ = 39 / 2 (400) = 39 x 200 = 7.800

Sumber : Matematika Dasar (Wilson Simangunsong)

               Mahir Olimpiade Matematika SD (Yohanes S., dkk)