Perbedaan Grupoid-Semigrup-Monoid-Grup

Oleh : Admin Gema

>>   Grupoid adalah struktur aljabar yang hanya melibatkan satu operasi biner saja dan tanpa syarat apa-apa. Biasanya dilambangkan (G,+) atau (G,.).

>>   Semigrup adalah grupoid yang memenuhi syarat tertutup dan assosiatif.

>>   Monoid adalah semigrup yang memenuhi syarat adanya unsur identitas.

>>   Grup adalah Monoid yang memnuhi syarat adanya unsur invers atau balikan.

Contoh :

Buktikan bahwa himpunan K = { -1,1} merupakan grupoid, semigrup, monoid dan grup terhadap perkalian (K,.).

Penyelesaian :

ð  Tentu K = {1,1} grupoid. Sebab, himpunan melibatkan satu operasi biner

        saja yaitu perkalian sehingga ditulis (K,.).

ð  K = {-1,1} terhadap perkalian (K,.) merupakan semigrup sebab memenuhi 2 syarat, yaitu tertutup dan assosiatif.

>>  Tertutup : -1 dan 1 adalah anggota G maka -1 . 1 = -1 anggota G (terbukti).

>> Assosiatif : a = -1 , b = -1 dan c = 1 semuanya anggota G maka

                        (a.b).c = a. (b.c)

                  (-1.(-1)).1 = -1.(-1.1) = 1         (terbukti).

ð   K = {-1,1} terhadap perkalian (K,.) merupakan monoid sebab memenuhi 3 syarat, yaitu tertutup , assosiatif dan adanya unsur identitas.

>>  Tertutup : -1 dan 1 adalah anggota G maka -1 . 1 = -1 anggota G (terbukti).

>> Assosiatif : a = -1 , b = -1 dan c = 1 semuanya anggota G maka

                       (a.b).c = a. (b.c)

          (-1.(-1)).1 = -1.(-1.1) = 1         (terbukti).

>> Adanya unsur identitas : a = - 1 anggota G dan e = 1 anggota G maka

                                      -1 . 1 = 1. (-1) = -1 = a       (terbukti).

ð  K = {-1,1} terhadap perkalian (K,.) merupakan monoid sebab memenuhi 4 syarat, yaitu tertutup , assosiatif , adanya unsur identitas dan adanya unsur invers atau balikan.

>> Tertutup : -1 dan 1 adalah anggota G maka -1 . 1 = -1 anggota G (terbukti).

>> Assosiatif : a = -1 , b = -1 dan c = 1 semuanya anggota G maka

                        (a.b).c = a. (b.c)

          (-1.(-1)).1 = -1.(-1.1) = 1         (terbukti).

>> Adanya unsur identitas : a = - 1 anggota G dan e = 1 anggota G maka

                                        -1 . 1 = 1. (-1) = -1 = a       (terbukti).

>> Adanya unsur invers/balikan :  a = -1 anggota G dan a^-1 = -1 anggota G maka

                                                   a.(a^-1) = (a^-1).a

                                                    -1 . -1   =  -1. -1 = 1 = e    (terbukti).

Bagaimana mudahkan untuk membedakan antara grupoid, semigrup, monoid dan grup? Mudah-mudahan dapat dimengerti dan bermanfaat. Amin.

Sumber : Mas’oed, Fadli. 2013. Struktur Aljabar. Jakarta Barat : Akademia Permata.