Perbedaan Semigrup dan Monoid

Tujuan penulisan postingan ini, adalah agar pembaca dapat mengidentifikasi suatu himpunan tak kosong terhadap operasi biner merupakan suatu semigrup dan juga monoid. Sebagaimana telah diketahui bahwa struktur aljabar yang paling sederhana disebut grupoid. Suatu grupoid merupakan struktur aljabar hanya dengan satu operasi biner dan tanpa syarat apa-apa. Lalu apakah yang dimaksud dengan semigrup dan juga monoid? Untuk menjawab pertanyaan ini, perlu sebuah definisi yang mejelaskan perihal semigrup dan juga monoid. Perhatikan dan pahami definisi di bawah ini :

Definisi 1 (Semigrup)

Suatu grupoid (H,*) dikatakan semigrup jika memenuhi syarat-syarat berikut :

>> (H,*) memenuhi sifat tertutup, {ambil a,b anggota H maka a * b anggota H}.

>> (H,*) memenuhi sifat assosiatif, {ambil a,b,c anggota H maka (a*b)*c = a*(b*c)}.

Contoh (Semigrup)

Misalkan N himpunan bilangan asli dengan operasi penjumlahan maka (N,+) merupakan semigrup. Hal ini dapat dibuktikan sebagaimana berikut :

>> Ambil 1 dan 2 anggota N, maka 1 + 2 = 3. Karena, 3 anggota N sehingga (N,+)

     memenuhi sifat tertutup. (anda dapat memberikan contoh lain bahwa (N,+) tertutup)

*Catatan : Sifat tertutup merupakan sifat yang dimiliki oleh sebuah himpunan yang apabila dikenakan sebuah operasi terhadap anggota-anggotanya maka hasilnya merupakan anggota himpunan tersebut.

>> Ambil 1,2, dan 3 anggota N, maka (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)

                                                                       3 + 3 = 1 + 5

                                                                             6 = 6  (terbukti memenuhi sifat assosiatif)

Jadi, (N,+) merupakan semigrup. Namun apakah (N,+) juga merupakan monoid? 

Definisi 2 (Monoid)

Suatu grupoid (H,*) dikatakan monoid jika memenuhi syarat-syarat berikut :

>> (H,*) memenuhi sifat tertutup, {ambil a,b anggota H maka a * b anggota H}.

>> (H,*) memenuhi sifat assosiatif, {ambil a,b,c anggota H maka (a*b)*c = a*(b*c)}.

>> (H,*) mempunyai unsur identitas, {ada e anggota H sehingga untuk setiap a anggota H

     berlaku a*e = e*a = a, dimana e = unsur identitas dari H}

Contoh (Monoid)

Misalkan N himpunan bilangan asli dengan operasi perkalian maka (N, x) merupakan monoid. Hal ini dapat dibuktikan sebagaimana berikut :

>> Ambil 1 dan 2 anggota N maka 1 x 2 = 2. Karena 2 anggota N sehingga (N, x) memenuhi

     sifat tertutup.

>> Ambil 1, 2, dan 3 anggota N maka (1 x 2) x 3 = 1 x (2 x 3)

                                                                      2 x 3 = 1 x 6

                                                                         6    =   6  (memenuhi sifat assosiatif)

>> Ada 1 anggota N sehingga 2 anggota N berlaku 2 x 1 = 1 x 2 = 2

      (ada 1 unsur identitas perkalian)

Jadi,  (N, x) merupakan monoid. Apakah (N, x) juga merupakan grup?

Simaklah penjelasan mengenai GRUP di sini : <Hakikat Sifat-sifat Grup>

Rujukan :

Tahmir, Suradi. 2009. Teori Grup. Makassar : Andira Publisher.

Mas’oed, Fadli. 2013. Struktur Aljabar. Jakarta : Akademia Permata.

Harapan admin, mudah-mudahan bermanfaat bagi sobat blogger ... dan jangan lupa komennya serta bagikan pengetahuan ini kepada yang lain (budayakan sedekah pengetahuan).